Cours Systèmes dynamiques et équations différentielles PDF
Introduction:
Depuis Isaac Newton , les équations différentielles jouent un rôle essentiel pour lamodélisation de systèmes physiques, mécaniques, chimiques, biologiques ou économiqueset une part prépondérante des phénomènes modélisés par les mathématiques le sont pardes équations différentielles.
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Lorsque ces équations ne font intervenir que des fonctions d’une variable, et souvent cette variable sera le temps, on parle d’équations différentielles ordinaires. De telleséquations apparaissent chaque fois que l’on veut décrire l’évolution déterministe d’un système au cours du temps : systèmes de points matériels, réactions chimiques, problèmes d’évolution de population, de diffusion d’épidémies, bref chaque fois que l’on étudie la dépendence d’un système par rapport à une variable. Dans d’autres circonstances, la modélisation aboutit à des équations faisant intervenir les dérivées de fonctions de plusieurs variables : c’est le cas pour l’équation de Schrödinger, l’équation de la chaleur, l’équation des ondes, l’équation de Navier et Stokes2.
On parle alors d’équations aux dérivées partielles. Mais, ces équations aux dérivées partielles dans des situations « très symétriques » se ramènent à des équations différentielles ordinaires : ainsi l’équation de Schrödinger décrivant l’atome d’hydrogène se ramène, grâce à sa symétrie sphérique, à une équation différentielle ordinaire.
Chapitre 1: Topologie des espaces métriques et le théorème de Picard:
Ce chapitre présente le théorème du point fixe de Picard qui nous permettra de démonter les principaux théorèmes utiles pour la suite du cours : théorème de Cauchy-Lipschitz sur l’existence et l’unicité des solutions d’équations différentielles, théorème des fonctionsi mplicites et d’inversion locale. Le théorème de Picard reste l’un des outils de base en Analyse, y compris dans les travaux de recherche récents. Nous le démontrons ici dans une version à paramètres différentiables.
Chapitre 2: Équations différentielles : Théorie générale, théorèmes d’existence et unicité
Ce chapitre a pour objet d’énoncer et de démonter le théorème de Cauchy-Lipshcitz y compris dans ses versions à paramètres. Le reste du cours utilise de manière essentielle les résultats de ce chapitre. En guise de complément nous montrons comment le théorème deP icard à paramètres, permet de résoudre des équations intégrales non-linéaires (équations de Volterra) et un problème au bord pour des équations différentielles du second ordre (équation de Sturm-Liouville).
Chapitre 3: Équations différentielles linéaires
Les équations différentielles linéaires constituent les modèles les plus simples d’équations différentielles. Celles à coefficients constants constituent la seule classe générale que l’on sache explicitement résoudre en toute dimension. Leur importance vient de ce que le plus souvent, on ne sait calculer explicitement qu’en se ramenant à des équations de ce type. De plus, d’un point de vue qualitatif, on voit déjà apparaître les propriétés essentielles des équations plus générales, en particulier sur les questions de stabilité.
Chapitre 4: Équations différentielles non-linéaires I
Ce chapitre est la première étape dans notre étude des équations non-linéaires. Nous y traitons la question du temps de vie d’une solution, et une première estimation de la distance entre deux solutions en fonction de celle entre leurs conditions initiales. Un critère géométrique d’une part, le Lemme de Gronwall d’autre part sont les clefs de cette approche élémentaire.
Chapitre 5: Équations différentielles non-linéaires II
Dans ce chapitre sont mis en place les différents objets intervenant dans notre approche globale des équations différentielles ordinaires : le flot, qui permet de considérer simultanément plusieurs solutions, les orbites et leur représentation graphique, le portrait de phase. Enfin, nous étudions comment les flots se transforment par changement de variable, et le théorème de redressement nous permet de comprendre leur comportement au voisinage des points où le champ ne s’annule pas. Cette étude permet encore d’introduire d’autres notions, comme l’application de premier retour, afin d’étudier le comportement des solutions au voisinage d’une solution périodique.
Chapitre 6: Stabilité des solutions d’équations différentielles
Chapitre 7: Quelques exemples d’étude de stabilité
Ce chapitre a pour but de donner des exemples d’études de stabilité pour des systèmes importants d’un point de vue physique et historique. Autant que la question de la stabilité d’un équilibre, c’est la compréhension de l’influence des paramètres d’un système sur sa stabilité qui sont utiles dans la pratique.
Nous commençons par l’exemple historique du régulateur de Watt et de ses successeurs, et traitons ensuite la stabilité d’un système conservatif, la rotation d’une toupie. Il faut souligner que des phénomènes mathématiques assez simples ont une grande multiplicité de manifestations physiques, mécaniques, électriques, biologiques etc. . . Si nous n’avons en général considéré que l’aspect mécanique, c’est parce qu’il nous semble plus parlant dans ses illustrations.
Que l’évolution historique du régulateur ne puisse se comprendre sans son étude mathématique, illustre une fois de plus à quel point les mathématiques nous sont indispensables pour expliquer le monde qui nous entoure.
Chapitre 8: Sous-variétés
Dans ce chapitre nous allons définir et étudier la notion de sous-variété, généralisation naturelle des courbes et surfaces « régulières ».
Au voisinage de chacun de ses points, une sous-variété « ressemble » à un sous-espace vectoriel de R^n. Les sous-variétés apparaissent naturellement lorsqu’une équation différentielle admet des quantités invariantes : les trajectoires sont alors tracées sur une sous-variété. La caractérisation des équations différentielles dont le flot préserve une sous-variété donnée est l’objet de la section 3.2.
Mais les sous-variétés apparaissent dans de nombreux autres domaines. Ce sont les objets de base de la géométrie différentielle, de la topologie différentielle, et sous une forme légèrement différente, de la géométrie algébrique, s’introduisant jusque dans les aspects modernes de la théorie des nombres. L’une des principales difficultés de leur étude est la diversité des points de vue possibles, qui correspondent aux différentes manières dont elles interviennent naturellement. Il est utile, sinon indispensable de savoir passer d’un point de vue à l’autre. Choisir pour chaque problème le point de vue le plus approprié constitue la première étape de sa résolution.
Chapitre 9: Formes différentielles, Formule de Stokes et Applications
Les formes différentielles interviennent dans plusieurs aspects des mathématiques et tout particulièrement en géométrie et systèmes dynamiques. Intuitivement, une forme différentielle a pour vocation de s’intégrer sur une sous-variété. Le lecteur a sans doute déjà vu de manière plus ou moins explicite les formes de degré 1 à l’occasion de l’étude des fonctions holomorphes (intégrale sur les chemins de f(z)dz). L’objet que l’on intègre doit avoir une intégrale ne dépendant pas de la paramétrisation du chemin.
Après avoir introduit le formalisme des formes différentielles, et de la différentielle extérieure, nous démontrons la formule de Stokes qui joue un rôle crucial, autant en mathématiques qu’en mécanique et en physique. Les applications sont alors nombreuses, mais nous insistons particulièrement sur celles de caractère topologique.
Chapitre 10: Introduction à la Topologie et à la Géométrie différentielle, Calcul de Lie
Chapitre 11: Quelques propriétés des champs de sous-espaces
Il arrive souvent que des contraintes naturelles sur l’évolution d’un système s’expriment comme des contraintes infinitésimales, mais en nombre insuffisant pour déterminer cette évolution. C’est le cas de tous les systèmes « commandés », voitures, robots, etc... En général, nous pouvons faire évoluer un tel système à notre guise, pourvu de respecter certaines contraintes. Le cas le plus simple est celui d’une voiture : on peut la faire avancer ou reculer, et tourner le volant, mais le mouvement doit se faire dans la direction prescrite par les roues. De même, on peut agir sur un bras articulé, pourvu de respecter les contraintes de ses articulations.
Cours: