Algèbre 1 Cours-Résumé-Exercices et Examens Corrigés PDF
1.Objectif du cours:
Ce module permet d’introduire les notions de base de l’algèbre et de la théorie des ensembles.
Connaissances préalables recommandées : Notions d’algèbre classique.
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2.Contenu de la matière :
Chapitre 1 : Notions de logique
• Table de vérité, quantificateurs, types de raisonnements.
Chapitre 2 : Ensembles et applications.
• Définitions et exemples.
• Applications : injection, surjection, bijection, image directe, image réciproque, restriction et
prolongement.
Chapitre 3 : Relations binaires sur un ensemble.
• Définitions de base : relation réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive.
• Relation d’ordre- Définition. Ordre total et partiel.
• Relation d’équivalence : classe d’équivalence.
Chapitre 4 : Structures algébriques.
• Loi de composition interne. Partie stable. Propriétés d'une loi de composition interne.
• Groupes-Définitions. Sous-groupe-Exemples-Homomorphisme de groupes- isomorphisme de groupes. Donner des exemples de groupes finis Z/nZ (n= 1, 2 , 3,…) et le groupe de permutations S3.
• Anneaux-Définition- Sous anneaux. Règles de calculs dans un anneau. Eléments inversibles, diviseurs de zéro-Homomorphisme d’anneaux-Idéaux.
• Corps-Définitions-Traiter le cas d’un corps fini à travers l’exemple Z/pZ ou p est premier,R et C
Chapitre 5 : Anneaux de polynômes.
• Polynôme. Degré.
• Construction de l’anneau des polynômes.
• Arithmétique des polynômes-Divisibilité-Division euclidienne-Pgcd et ppcm de deux polynômes-Polynômes premiers entre eux-Décomposition en produit de facteurs irréductibles.
• Racines d'un polynôme-Racines et degré -Multiplicité des racines.