Cours Espaces Vectoriels normés PDF
Ce domaine des Mathématiques s’intéresse donc à l’étude des lieux, appelés en général espaces et aux propriétés qui les caractérisent. L’Analyse Fonctionnelle est très liée à la Topologie. En effet, dans cette branche des Mathématiques, on s’intéresse plus précisément aux espaces de fonctions. Un espace fonctionnel que vous connaissez probablement très bien est C([0, 1]), l’espace des fonctions continues sur le segment [0, 1].
Pour vous donner un exemple assez concret, vous connaissez peut-être le résultat suivant : si f est continue sur [0, 1], alors il existe x0 et x1, deux éléments de [0, 1] qui, respectivement, maximise et minimise f sur ce segment. Nous verrons qu’il existe un résultat bien plus général permettant de démontrer l’existence de minima et maxima d’une fonction. On comprendra aisémnent l’intérêt que cela présente dans le domaine de l’Optimisation par exemple. En Physique notamment, il est courant que l’on cherche à maximiser ou minimiser une énergie.
Historiquement, c’est Leonhard Euler (1707-1783) qui a initié la Topologie. En 1736, il présenta le problème des sept ponts de Königsberg. Kaliningrad (Königsberg jusqu’en 1946) est une ville de Russie, située dans une enclave territoriale totalement isolée du territoire russe, (jusqu’en 1945 « Prusse orientale ») au bord de la mer Baltique, entre la Pologne et la Lituanie. L’histoire veut que Léonhard Euler, en visite dans cette ville, ait eu à résoudre le problème qui préoccupait fortement ces habitants :
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